Как исследовать функцию и построить график функции?
Как исследовать функцию и построить график функции?
СОДЕРЖАНИЕ
С понятием графиков функций ученики сталкиваются не только на уроках алгебры в 8 классе: умение их исследовать и строить помогает решать задачи по физике, географии и даже биологии. Но, если ребёнок не знает, что такое функция, каковы её свойства и правила построения графиков, он рискует столкнуться с проблемами при решении задач.
Чтобы упростить школьникам понимание данной темы мы на простых примерах расскажем в статье, что такое функция, какими свойствами она обладает, и что нужно предпринять, чтобы построить у себя в тетради график функции, исходя из её вида и условия задачи.
Определение функции
Функция — это то взаимозависимость между двумя переменными, одна из которых является зависимой, а другая независимой (у = (fx).
Для лучшего понимания приведём простой житейский пример. Вообразите, что у вас есть кондитерская, где выпекают, скажем, круассаны. Чтобы получить готовую выпечку, нам нужно поставить в печку тесто и начинку. Тесто — это одна переменная, а начинка — другая. Мы можем в зависимости от того, какие круассаны хотим получить, менять состав и количество теста и виды начинок (фруктовая, шоколадная, заварной крем и др.). И от того, как мы будем варьировать ингредиенты (переменные), будут получаться различные виды круассанов. Так, тесто (переменная х) после выпекания в печи (функция) даёт нам булочку (у).
Исходя из этого, сделаем вывод, что под функцией мы понимаем действия над переменной. Действия могут быть как простыми математическими операциями (сложение, вычитание, умножение, деление), так и более сложными вроде возведения в степень и др.
Также функцией справедливо назвать и соответствие между двумя множествами при условии, что каждому элементу одного множества соответствует лишь один элемент другого.
Например, дети поставили спектакль на утренник, и у каждого из, скажем, десяти актёров есть костюм, который предназначен только для него: у Лены это костюм Снежинки, у Павлика — Тучки, у Анфисы —Лисички и. т. д.
Математически это можно выразить следующим образом. Возьмём функцию y = x/4. Итак, каждому элементу из х (множество) соответствует один элемент из у (множество), и он, естественно, будет в четыре раза меньше, чем х. То есть, если x = 16, то у будет равен 4. При изменении значения х меняется и значение у.
Переменная, которая способна менять значение, называется аргументом (чаще всего это х):
Какими свойствами обладает функция?
Разобраться, как определить график функции, будет проблематично, если не знать, какие свойства у неё есть.
Познакомим вас с самыми главными из них:
Найдём область определения функции по уравнению Y = √x. Мы знаем, что под знаком корня не может находиться отрицательное число (число со знаком минус). Значит X у нас будет больше или равен нулю, из чего делаем вывод, что областью определения данной функции будет: D(Y) = [0; +∞].
Например, область значения функции y = sin(x) будет выглядеть как: Е(Y) = [-1; 1], поскольку нам известно, что синус и косинус способны иметь значение в промежутке от -1 до 1.
Пример: возьмём функцию: y = x² - 2х - 3, и преобразуем её в уравнение, приравняв значение Y нулю.
Получаем: x² - 2х - 3 = 0, D = 4 + 12 = 16, x1 = 2 + 4 / 2= 3, x2 = 2 - 4 / 2= -1. Таким образом, нули функции — это х = 3 и х = -1.
Нули функции могут располагаться только на горизонтальной оси OХ на графике. В случаях, когда у функции нет пересечения с осью OХ, у неё не будет и нулей.
Для более наглядного понимания представим мальчика Арсения, катающегося на скейтборде с пригорка, который будет у нас прототипом функции. Так вот, она станет возрастать там, где Арсений взбирается на пригорок со скейтбордом (при условии движения слева направо).
Убывание функции происходит при условии, что для любой пары аргументов х1 и х2 (х1 меньше х2) справедливо неравенство f(х2) меньше f(x1). В нашем примере с юным скейтбордистом функция будет убывать, когда он скатывается с пригорка.
Монотонность функции характерна для стабильного возрастающей или убывающей функции. Но функция также может быть не постоянно монотонной, а лишь на определённом участке графика.
Промежутки знакопостоянства функции — это значения её аргумента, когда у значений функции будет постоянный знак (отрицательные либо положительные числа). Чтобы определить промежутки знакопостоянства функции, нужно выяснить, когда значение Y будет отрицательным, а когда положительным.
Для этого нам потребуется знание двух правил:
функция положительна на промежутке, где она лежит над осью ОХ.
Нечётная функция — это функция, график которой будет симметричным относительно начала координат: f(-x) = -f(x).
Чётная функция — это функция, чей график симметричен оси OХ: f(x) = f(-x).
Классическим примером графика нечётной функции является гипербола. Наглядно чётность функции можно подтвердить, если подставить к оси ОУ графика зеркало. При правильном отражении функции она окажется чётной. Но не каждая функция бывает чётной или нечётной. Если описанные условия равенства не соблюдаются, функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.
Как построить график функции по уравнению: алгоритм действий
График функции — это совокупность точек (х; у), координаты которых имеют соотношение уравнению: y = f(х).
На графике функции отображаются точки, значения (координаты) которых вычисляются постановкой в функцию любых значений вместо X.
Чтобы построить график функции по заданному уравнению, вам сначала нужно провести исследование функции, для которого вам понадобятся знания о её свойствах.
Пошаговый план действий будет выглядеть следующим образом:
Указанная инструкция носит приблизительный характер. В ходе исследования функции мы можем добавлять или опускать пункты в зависимости от текущей ситуации и разновидности функции.
Например, нам нужно исследовать и построить график функции у = f(x) = 1/125 (х² - 5) ³ с помощью производной. Находим область определения — это все действительные числа (R).
Определяем является функцией чётной или нечётной: f(-x) = 1/125 ((- x) ² - 5) ³ = 1/125 (x² - 5) ³ = f(х) для всех значений X из области определения функции, что означает, что функция y = f(х) является чётной.
Поскольку наша функция имеет вид y = f(х), она не является периодической.
Определим точки пересечения графика функции с осями OX и OY, и найдём промежутки знакопостоянства:
Найдём участки монотонности функции и критические точки (экстремумы):
Теперь отыщем точки перегиба и интервалы выпуклости функции: f''(x) = (6/125х(x² - 5)²)' = 6/125(x² - 5)² + 6/125х 2(x² - 5)2x = 6/125(x² - 5) (x² - 5 + 4x²) = 30/125 (x² - 5) (x² - 1)
Значит, f''(x) существует на всей области определения функции f''(x) = 0 при х1 = -√5, х2 = -1, х3 = 1, х4 = √5 f''(x)> 0 при х ∈ (-∞; -√5) U (- 1; 1) U (√5; +∞) f''(x) <0 при х ∈ (-√5; -1) U (1; √5)
Это означает что функция y = f(x) имеет выпуклость вниз на участках (-∞; -√5) (- 1; 1) (√5; +∞), и выпуклость вверх на участках (-√5; -1) (1; √5) x1, x2, x3, x4 — это точки перегиба. f(x1) = 0, f(x2) = -64/125, f(x3) = -64/125, f(x4) = 0
Опираясь на полученные значения, построим график функции на координатной плоскости.
Как построить график линейной функции?
Линейной называется функция вида у = кх + b, в которой к и b могут быть произвольными числами. Графиком линейной функции будет прямая вне зависимости от конкретных чисел.
Запомните особые случаи, когда к и (или) b принимают нулевое значение:
Для примера построим график функции у = 2х + 3. Для этого нам потребуется указать две точки с координатами, а затем провести между ними прямую линию (т. к. функция линейная).
В данном случае, если х = 0, то у = 3, а при х = 1 у = 5. Значит, нашими ключевыми точками, через которые будет проходить прямая, являются точки с координатами (0; 3) и (1; 5).
Для построения графика нам нужно:
Чтобы школьнику было проще научиться работать с графиками, рекомендуем к прочтению статью.
Как образовательная платформа iSmart помогает изучать и понимать функции и их графики?
Тема функций, их исследования и построения графиков — одна из сложных и обширных в школьном курсе алгебры, а в профильных математических классах может даже затрагивать высшую математику. Поэтому ученикам необходимо быть хорошо подготовленными на протяжении всей учёбы, чтобы, подходя к ЕГЭ, не приходилось впопыхах навёрстывать упущенное, что в выпускной год сделать весьма проблематично.
Практика показывает, что лишь немногим учащимся оказывается достаточно школьного курса и разъяснений преподавателя по алгебре, чтобы полноценно усвоить материал. Программа рассчитана на усреднённые показатели, а у реальных детей свой темп восприятия и уровень понимания тем математических дисциплин.
Поэтому нам просто необходимо подключать дополнительные ресурсы к школьному обучению. И очень важно, чтобы они были действенными для каждого конкретного ребёнка.
Образовательная платформа iSmart является настоящей интерактивной альтернативной дорогостоящим занятиям с репетитором, ведь это — онлайн-сервис, где каждый ученик может выбрать для себя задание по любой теме и предмету с 1 по 11 класс. Всего на платформе более 600 тысяч заданий различной степени сложности с умными подсказками, что даёт возможность детям самостоятельно с ними справляться, и не терять мотивации заниматься.
Платформа iSmart учитывает потребности каждого ученика, поэтому полезна:
Взаимодействовать с платформой очень легко. Справиться может даже ученик младших классов. Чтобы найти подходящее задание:
На главной странице воспользуйтесь «Каталогом заданий».
Выберите предмет («Алгебра»), класс (8-й), тему («Координаты и графики. Функция. Основные понятия»), подтему («График функции. Построение графика функции»).
Получите задание, внимательно его прочитайте. При необходимости посмотрите подсказку, нажав внизу задания «Показать подсказку» и приступайте к решению.
В процессе для удобства можете воспользоваться черновиком тут же на платформе.
Получив ответ в решении, убедитесь в его правильности, посмотрев «Подсказка (ответ)», и подтвердите.
Если решение верно, iSmart сообщит об этом ободряющим комментарием, и переведёт ученика к следующему заданию по теме.
В случае неправильного ответа платформа укажет на ошибку, даст пояснения, и вернёт пользователя к заданию для повторного решения. Ученик не сможет начать выполнять следующее задание, не дав правильный ответ на предыдущее.
Такой ступенчатый подход гарантирует, что ребёнок освоит тему: просто кому-то потребуется для этого больше времени, а кому-то меньше. Так платформа подстраивается под ученика, его уровень знаний, запрос, учебные и психологические потребности.
Задания на iSmart составлены с участием не только преподавателей профильных школьных дисциплин, но и детских психологов, и поданы школьникам в увлекательной, близкой к игровой форме. Заниматься на платформе будет интересно даже ребятам, которые не могут похвастаться усидчивостью. Им нужно уделять занятиям всего 15-20 минут, но каждый день для того, чтобы баллы в школе начали расти! И это независимо от того, с какого уровня вы стартуете.
Чтобы получить доступ ко всем функциям платформы iSmart, ученику нужно пройти простую регистрацию вместе с родителем, и обзавестись личным аккаунтом, включающим кабинет родителя и личную страничку школьника. Подробный пошаговый план регистрации вы можете посмотреть в статье.
Дорогие ребята и их родители, не забывайте, что учёба в школе — это не просто получение обязательного среднего образования. Аттестат в итоге получат почти все ученики (за редчайшим исключением), но то, какие в нём будут оценки, и какие перспективы на дальнейшую профессиональную жизнь он перед вами откроет, зависит только от вас!
Не упускайте возможность улучшить вашу успеваемость в своё время, чтобы потом не сожалеть. Уделите 10 минут своего времени, и зарегистрируйтесь на образовательной платформе iSmart прямо сегодня! И уже завтра вы будете благодарны себе за это решение, когда увидите в дневнике своего ребёнка высокие оценки!
Читать также
